Lineární algebra

AuxiliaryUnitMatrix
AuxiliaryUnitMatrix (n)

Získat pomocnou jednotkovou matici velikosti n. Jde o čtvercovou matici ze samých nul vyjma diagonály, na které jsou jedničky. Je to Jordanův blok s jedním vlastním číslem nula.

Více informací o Jordanově kanonické formě najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

BilinearForm
BilinearForm (v,A,w)

Spočítat (v,w) vzhledem k bilineární formě dané maticí A.

BilinearFormFunction
BilinearFormFunction (A)

Vrátit funkci takovou, že vyhodnocuje dva vektory vzhledem k bilineární formě dané maticí A.

CharacteristicPolynomial
CharacteristicPolynomial (M)

Alternativní názvy: CharPoly

Získat charakteristický polynom v podobě vektoru. Konkrétně vrací koeficienty polynomu počínaje konstantním členem. Jedná se o polynom definovaný pomocí det(M-xI). Kořeny tohoto polynomu jsou vlastní čísla matice M. Viz CharacteristicPolynomialFunction.

Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v anličtině) a Planetmath (text je v angličtině).

CharacteristicPolynomialFunction
CharacteristicPolynomialFunction (M)

Získat charakteristický polynom v podobě funkce. Jedná se o polynom definovaný pomocí det(M-xI). Kořeny tohoto polynomu jsou vlastní čísla matice M. Viz CharacteristicPolynomial.

Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v anličtině) a Planetmath (text je v angličtině).

ColumnSpace
ColumnSpace (M)

Získat bázi matice pro prostor sloupců matice. Prakticky se vrátí matice, jejíž sloupce jsou bázemi pro prostor sloupců matice M. To je prostor rozložený podle sloupců matice M.

Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (text je v angličtině).

CommutationMatrix
CommutationMatrix (m, n)

Vrátit komutační matici K(m,n), což je jedinečná matice velikosti m*n krát m*n, která splňuje K(m,n) * MakeVector(A) = MakeVector(A.') pro všechny matice A velikosti m krát n.

CompanionMatrix
CompanionMatrix (p)

Doplňková matice polynomu (jako vektor).

ConjugateTranspose
ConjugateTranspose (M)

Konjugovaná transpozice matice (adjungovaná). Je to stejné jako operátor '.

Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).

Convolution
Convolution (a,b)

Alternativní názvy: convol

Spočítat konvoluci dvou vodorovných vektorů.

ConvolutionVector
ConvolutionVector (a,b)

Spočítat konvoluci dvou vodorovných vektorů. Výsledek vrátí jako vektor a ne sečtené dohromady.

CrossProduct
CrossProduct (v,w)

Vektorový součin dvou vektorů v R3 jako sloupcový vektor.

Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.

DeterminantalDivisorsInteger
DeterminantalDivisorsInteger (M)

Získat determinantové dělitele celočíselné matice.

DirectSum
DirectSum (M,N...)

Přímý součet matic.

Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.

DirectSumMatrixVector
DirectSumMatrixVector (v)

Přímý součet vektoru matic.

Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.

Eigenvalues
Eigenvalues (M)

Alternativní názvy: eig

Získat vlastní čísla čtvercové matice. V současnosti pracuje pouze pro matice do velikosti 4 krát 4 nebo pro trojúhelníkové matice (pro které jsou vlastní čísla na diagonále).

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

Eigenvectors
Eigenvectors (M)
Eigenvectors (M,&vlastni_cisla)
Eigenvectors (M, &vlastni_cisla, &nasobnosti)

Získat vlastní vektory čtvercové matice. Volitelně získat také vlastní čísla a jejich algebraické násobnosti. V současnosti pracuje pouze s maticemi do velikosti 2 krát 2.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

GramSchmidt
GramSchmidt (v,B...)

Použít Gramův-Schmidtův proces (na sloupce) vzhledem k unitárnímu prostoru danému B. Pokud B není zadáno, je použit standardní hermitovský součin. B může být buď polybilineární funkce dvou argumentů nebo to může být matice v polybilineární formě. Vektory budou vytvořeny ortogonální vzhledem k B.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) a Wikipedia.

HankelMatrix
HankelMatrix (c,r)

Henkelova matice, což je matice se stejnými vedlejšími diagonálami. c je první řádek a r je poslední sloupec. Předpokládá se, že oba argumenty budou vektory a poslední prvek c bude stejný jako první prvek r.

Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (text je v angličtině).

HilbertMatrix
HilbertMatrix (n)

Hilbertova matice řádu n.

Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).

Image
Image (T)

Získat obraz (sloupcový prostor) lineární transformace.

Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (text je v angličtině).

InfNorm
InfNorm (v)

Získat k vektoru normu typu nekonečno, někdy také nazývanou maximální norma.

InvariantFactorsInteger
InvariantFactorsInteger (M)

Získat invariantní činitele čtvercové celočíselné matice.

InverseHilbertMatrix
InverseHilbertMatrix (n)

Inverzní Hilbertova matice řádu n.

Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).

IsHermitian
IsHermitian (M)

Je matice hermitovská? Tj. zda je rovna své konjugované transpozici.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) a Wikipedia (text je v angličtině).

IsInSubspace
IsInSubspace (v,W)

Zjistit, zda je vektor v podprostoru.

IsInvertible
IsInvertible (n)

Je matice (nebo číslo) invertovatelná (matice celých čísel je invertovatelná, když je invertovatelná nad celými čísly)?

IsInvertibleField
IsInvertibleField (n)

Je matice (nebo číslo) invertovatelná nad tělesem.

IsNormal
IsNormal (M)

Je M normální matice. To jest, zda M*M' == M'*M.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v angličtině).

IsPositiveDefinite
IsPositiveDefinite (M)

Je matice M hermitovská pozitivně definitní matice? To znamená, zda je HermitianProduct(M*v,v) vždy striktně pozitivní pro libovolný vektor v. M musí být čtvercová a hermitovská, aby byla pozitivně definitní. Kontrola, zda tomu tak je, spočívá v tom, zda každá hlavní podmatice má nezáporný determinant. (Viz HermitianProduct)

Poznamenejme, že někteří autoři (např. Mathworld) nevyžadují, aby matice M byla hermitovská a tak podmínka není skutečnu částí unitárního prostoru, ale neberte to za dogma. Pokud chcete takovou kontrolu provést, jednoduše zkontrolujte hermitovskou část matice M takto: IsPositiveDefinite(M+M').

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

IsPositiveSemidefinite
IsPositiveSemidefinite (M)

Je matice M hermitovská pozitivně semidefinitní matice? To znamená, zda je HermitianProduct(M*v,v) vždy nezáporná pro libovolný vektor v. M musí být čtvercová a hermitovská, aby byla pozitivně semidefinitní. Kontrola, zda tomu tak je, spočívá v tom, zda každá hlavní podmatice má nezáporný determinant. (Viz HermitianProduct)

Poznamenejme, že někteří autoři (např. Mathworld) nevyžadují, aby matice M byla hermitovská a tak podmínka není skutečnu částí unitárního prostoru, ale neberte to za dogma. Pokud chcete takovou kontrolu provést, jednoduše zkontrolujte hermitovskou část matice M takto: IsPositiveSemidefinite(M+M').

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v angličtině).

IsSkewHermitian
IsSkewHermitian (M)

Je matice antihermitovská? To znamená, zda je konjugovaná transpozice rovna negativní matici.

Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

IsUnitary
IsUnitary (M)

Je matice unitární? To je, zda M'*M a M*M' dají stejnou jednotkovou matici.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.

JordanBlock
JordanBlock (n,lambda)

Alternativní názvy: J

Získat Jordanův blok odpovídající vlastnímu číslu lambda s násobností n.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

Kernel
Kernel (T)

Získat jádro (nulový prostor) lineární transformace.

(Viz NullSpace)

KroneckerProduct
KroneckerProduct (M, N)

Alternativní názvy: TensorProduct

Spočítat Kroneckerův součin (tenzorový součin ve standardní bázi) dvou matic.

Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině), Planetmath (text je v angličtině) a Mathworld (text je v angličtině).

Verze 1.0.18 a novější.

LUDecomposition
LUDecomposition (A, L, U)

Získat LU rozklad matice A tak, že se najde dolní a horní trojúhelníková matice, jejichž součinem je A. Výsledek se uloží v L a U, což by měly být odkazy na proměnné. V případě úspěchu vrací true. Například předpokládejme, že A je čtvercová matice, pak po spuštění:

genius> LUDecomposition(A,&L,&U)

budete mít dolní matici uloženou v proměnné s názvem L a horní matici v proměnné s názvem U.

Jedná se o LU rozklad matice známý také jako Croutův a/nebo Choleského rozklad. (ISBN 0-201-11577-8 pp.99-103) Horní trojúhelníková matice zahrnuje diagonálu hodnot 1. Nejedná se o Doolittlovu metodu, která zahrnuje diagonálu jedniček do dolní matice.

Ne všechny matice mají LU rozklad, například [0,1;1,0] jej nemá a tato funkce v takovém případě vrátí false a nastaví L a U na null.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

Minor
Minor (M,i,j)

Získat subdeterminant (též minor) i-j matice.

Více informací najdete v encyklopedii Planetmath.

NonPivotColumns
NonPivotColumns (M)

Vrátit sloupce matice, které nemají pivot.

Norm
Norm (v,p...)

Alternativní názvy: norm

Získat normu typu p (nebo typu 2, pokud není zadáno p) vektoru.

NullSpace
NullSpace (T)

Získat nulový prostor matice. Tj. jádro lineární transformace, která matici představuje. Výsledek se vrací v podobě matice, jejíž sloupcový prostor je nulovým prostorem z T.

Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

Nullity
Nullity (M)

Alternativní názvy: nullity

Získat nulovost matice. Tzn. vrátit rozměry nulového prostoru; rozměry jádra matice M.

Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

OrthogonalComplement
OrthogonalComplement (M)

Získat ortogonální doplněk sloupcového prostoru.

PivotColumns
PivotColumns (M)

Vrátit sloupce matice s pivoty, tzn. sloupce, které mají 1 v řádkově redukované podobě. Rovněž vrací řádek, ve kterém se vyskytly.

Projection
Projection (v,W,B...)

Projekce vektoru v do podprostoru W vzhledem k unitárnímu prostoru danému B. Pokud B není zadáno, je použit standardní hermitovský součin. B může být buď polybilineární funkce dvou argumentů nebo to může být matice v polybilineární formě.

QRDecomposition
QRDecomposition (A, Q)

Získat QR rozklad čtvercové matice A, vrací horní trojúhelníkovou matici R a nastavuje Q na ortogonální (unitární) matici. Q by měl být odkaz na proměnnou nebo null, pokud nic vrátit nechcete. Například pro

genius> R = QRDecomposition(A,&Q)

budete mít horní trojúhelníkovou matici uloženou v proměnné s názvem R a ortogonální (unitární) matici v Q.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.

RayleighQuotient
RayleighQuotient (A,x)

Vrátit Rayleighův podíl (nazývaný také Rayleighův-Ritzův koeficient nebo podíl) matice a vektoru.

Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

RayleighQuotientIteration
RayleighQuotientIteration (A,x,epsilon,maxiter,vecref)

Najít vlastní čísla matice A pomocí iterační metody Rayleighova podílu. x je odhadovaný vlastní vektor a mohl by být náhodný. Měl by mít nenulovou imaginární část, pokud existuje nějaká možnost, že budou nalezena komplexní vlastní čísla. Kód bude nanejvýše v maxiter iteracích a vracet null, pokud není možné získat výsledek v rámci chyby epsilon. vecref by měl být buď null nebo odkaz na proměnnou, do které by se měl uložit vlastní vektor.

Více informací o Rayleighově podíle najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

Rank
Rank (M)

Alternativní názvy: rank

Získat hodnost matice.

Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).

RosserMatrix
RosserMatrix ()

Vrátit Rosserovu matici, která je klasickým symetrickým problémem testu vlastního čísla.

Rotation2D
Rotation2D (úhel)

Alternativní názvy: RotationMatrix

Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R2.

Rotation3DX
Rotation3DX (úhel)

Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R3 kolem osy x.

Rotation3DY
Rotation3DY (úhel)

Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R3 kolem osy y.

Rotation3DZ
Rotation3DZ (úhel)

Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R3 kolem osy z.

RowSpace
RowSpace (M)

Získat bázi matice pro prostor řádků matice.

SesquilinearForm
SesquilinearForm (v,A,w)

Vyhodnotit (v,w) vzhledem k polybilineární formě dané maticí A.

SesquilinearFormFunction
SesquilinearFormFunction (A)

Vrátit funkci vyhodnocující dva vektory vzhledem k polybilineární formě dané maticí A.

SmithNormalFormField
SmithNormalFormField (A)

Vrátit Smithův kanonický tvar (normální forma) matice nad poli (bude končit s jedničkami na diagonále).

Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (článek je v angličtině).

SmithNormalFormInteger
SmithNormalFormInteger (M)

Vrátit Smithův kanonický tvar (normální formu) pro čtvercové celočíselné matice nad celými čísly.

Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (článek je v angličtině).

SolveLinearSystem
SolveLinearSystem (M,V,argumenty...)

Vyřešit lineární systém Mx=V, vrátit řešení V, pokud existuje jedinečné řešení, jinak vrátit null. Je možné použít dva dodatečné parametry předávané odkazem, ve kterých získáte redukované M a V.

ToeplitzMatrix
ToeplitzMatrix (s, r...)

Vrátit Teplitzovu matici sestavenou podle zadaného prvního sloupce c a (volitelně) prvního řádku r. Pokud je zadán pouze sloupec c, je pro první řádek použita konjugovaná a nekonjugovaná verze, aby se získala hermitovská matice (samozřejmě za předpokladu, že je první prvek reálný).

Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).

Trace
Trace (M)

Alternativní názvy: trace

Spočítat stopu matice. Jedná se o součet prvků na hlavní diagonále čtvercové matice.

Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia a Planetmath (text je v angličtině).

Transpose
Transpose (M)

Transponovat matici. Funkčně je to stejné, jako operátor .'.

Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia a Planetmath (text je v angličtině).

VandermondeMatrix
VandermondeMatrix (v)

Alternativní názvy: vander

Vrátit Vandermondovu matici.

Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.

VectorAngle
VectorAngle (v,w,B...)

Úhel dvou vektorů vzhledem k unitárnímu prostoru daného B. Pokud B není zadáno, je použit standardní hermitovský součin. B může být buď polybilineární funkce dvou argumentů nebo to může být matice v polybilineární formě.

VectorSpaceDirectSum
VectorSpaceDirectSum (M,N)

Přímý součet vektorových prostorů M a N.

VectorSubspaceIntersection
VectorSubspaceIntersection (M,N)

Průnik podprostorů daných pomocí M a N

VectorSubspaceSum
VectorSubspaceSum (M,N)

Součet vektorových prostorů M a N, tj. {w | w=m+n, m in M, n in N}.

adj
adj (m)

Alternativní názvy: Adjugate

Získat adjungovanou (reciproku) matici.

cref
cref (M)

Alternativní názvy: CREF ColumnReducedEchelonForm

Spočítat sloupcově odstupňovaný tvar matice.

det
det (M)

Alternativní názvy: Determinant

Získat determinant matice.

Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) a Wikipedia.

ref
ref (M)

Alternativní názvy: REF RowEchelonForm

Získat řádkově odstupňovaný tvar matice. To jest, použít Gaussovu eliminaci, ale bez zpětného dosazování do M. Nenulové řádky jsou poděleny, aby všechny pivoty byly 1.

Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).

rref
rref (M)

Alternativní názvy: RREF ReducedRowEchelonForm

Získat redukovaný řádkově odstupňovaný tvar matice. To jest, použít Gaussovu eliminaci se zpětným dosazováním do M.

Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).