AuxiliaryUnitMatrix (n)
Získat pomocnou jednotkovou matici velikosti n
. Jde o čtvercovou matici ze samých nul vyjma diagonály, na které jsou jedničky. Je to Jordanův blok s jedním vlastním číslem nula.
Více informací o Jordanově kanonické formě najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.
BilinearForm (v,A,w)
Spočítat (v,w) vzhledem k bilineární formě dané maticí A.
BilinearFormFunction (A)
Vrátit funkci takovou, že vyhodnocuje dva vektory vzhledem k bilineární formě dané maticí A.
CharacteristicPolynomial (M)
Alternativní názvy: CharPoly
Získat charakteristický polynom v podobě vektoru. Konkrétně vrací koeficienty polynomu počínaje konstantním členem. Jedná se o polynom definovaný pomocí det(M-xI)
. Kořeny tohoto polynomu jsou vlastní čísla matice M
. Viz CharacteristicPolynomialFunction.
Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v anličtině) a Planetmath (text je v angličtině).
CharacteristicPolynomialFunction (M)
Získat charakteristický polynom v podobě funkce. Jedná se o polynom definovaný pomocí det(M-xI)
. Kořeny tohoto polynomu jsou vlastní čísla matice M
. Viz CharacteristicPolynomial.
Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v anličtině) a Planetmath (text je v angličtině).
ColumnSpace (M)
Získat bázi matice pro prostor sloupců matice. Prakticky se vrátí matice, jejíž sloupce jsou bázemi pro prostor sloupců matice M
. To je prostor rozložený podle sloupců matice M
.
Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (text je v angličtině).
CommutationMatrix (m, n)
Vrátit komutační matici K(m,n)
, což je jedinečná matice velikosti m*n
krát m*n
, která splňuje K(m,n) * MakeVector(A) = MakeVector(A.')
pro všechny matice A
velikosti m
krát n
.
CompanionMatrix (p)
Doplňková matice polynomu (jako vektor).
ConjugateTranspose (M)
Konjugovaná transpozice matice (adjungovaná). Je to stejné jako operátor '
.
Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).
Convolution (a,b)
Alternativní názvy: convol
Spočítat konvoluci dvou vodorovných vektorů.
ConvolutionVector (a,b)
Spočítat konvoluci dvou vodorovných vektorů. Výsledek vrátí jako vektor a ne sečtené dohromady.
CrossProduct (v,w)
Vektorový součin dvou vektorů v R3 jako sloupcový vektor.
Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.
DeterminantalDivisorsInteger (M)
Získat determinantové dělitele celočíselné matice.
DirectSum (M,N...)
Přímý součet matic.
Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.
DirectSumMatrixVector (v)
Přímý součet vektoru matic.
Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.
Eigenvalues (M)
Alternativní názvy: eig
Získat vlastní čísla čtvercové matice. V současnosti pracuje pouze pro matice do velikosti 4 krát 4 nebo pro trojúhelníkové matice (pro které jsou vlastní čísla na diagonále).
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.
Eigenvectors (M)
Eigenvectors (M,&vlastni_cisla)
Eigenvectors (M, &vlastni_cisla, &nasobnosti)
Získat vlastní vektory čtvercové matice. Volitelně získat také vlastní čísla a jejich algebraické násobnosti. V současnosti pracuje pouze s maticemi do velikosti 2 krát 2.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.
GramSchmidt (v,B...)
Použít Gramův-Schmidtův proces (na sloupce) vzhledem k unitárnímu prostoru danému B
. Pokud B
není zadáno, je použit standardní hermitovský součin. B
může být buď polybilineární funkce dvou argumentů nebo to může být matice v polybilineární formě. Vektory budou vytvořeny ortogonální vzhledem k B
.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) a Wikipedia.
HankelMatrix (c,r)
Henkelova matice, což je matice se stejnými vedlejšími diagonálami. c
je první řádek a r
je poslední sloupec. Předpokládá se, že oba argumenty budou vektory a poslední prvek c
bude stejný jako první prvek r
.
Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (text je v angličtině).
HilbertMatrix (n)
Hilbertova matice řádu n
.
Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).
Image (T)
Získat obraz (sloupcový prostor) lineární transformace.
Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (text je v angličtině).
InfNorm (v)
Získat k vektoru normu typu nekonečno, někdy také nazývanou maximální norma.
InvariantFactorsInteger (M)
Získat invariantní činitele čtvercové celočíselné matice.
InverseHilbertMatrix (n)
Inverzní Hilbertova matice řádu n
.
Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).
IsHermitian (M)
Je matice hermitovská? Tj. zda je rovna své konjugované transpozici.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) a Wikipedia (text je v angličtině).
IsInSubspace (v,W)
Zjistit, zda je vektor v podprostoru.
IsInvertible (n)
Je matice (nebo číslo) invertovatelná (matice celých čísel je invertovatelná, když je invertovatelná nad celými čísly)?
IsInvertibleField (n)
Je matice (nebo číslo) invertovatelná nad tělesem.
IsNormal (M)
Je M
normální matice. To jest, zda M*M' == M'*M
.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v angličtině).
IsPositiveDefinite (M)
Je matice M
hermitovská pozitivně definitní matice? To znamená, zda je HermitianProduct(M*v,v)
vždy striktně pozitivní pro libovolný vektor v
. M
musí být čtvercová a hermitovská, aby byla pozitivně definitní. Kontrola, zda tomu tak je, spočívá v tom, zda každá hlavní podmatice má nezáporný determinant. (Viz HermitianProduct)
Poznamenejme, že někteří autoři (např. Mathworld) nevyžadují, aby matice M
byla hermitovská a tak podmínka není skutečnu částí unitárního prostoru, ale neberte to za dogma. Pokud chcete takovou kontrolu provést, jednoduše zkontrolujte hermitovskou část matice M
takto: IsPositiveDefinite(M+M')
.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.
IsPositiveSemidefinite (M)
Je matice M
hermitovská pozitivně semidefinitní matice? To znamená, zda je HermitianProduct(M*v,v)
vždy nezáporná pro libovolný vektor v
. M
musí být čtvercová a hermitovská, aby byla pozitivně semidefinitní. Kontrola, zda tomu tak je, spočívá v tom, zda každá hlavní podmatice má nezáporný determinant. (Viz HermitianProduct)
Poznamenejme, že někteří autoři (např. Mathworld) nevyžadují, aby matice M
byla hermitovská a tak podmínka není skutečnu částí unitárního prostoru, ale neberte to za dogma. Pokud chcete takovou kontrolu provést, jednoduše zkontrolujte hermitovskou část matice M
takto: IsPositiveSemidefinite(M+M')
.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) nebo Mathworld (text je v angličtině).
IsSkewHermitian (M)
Je matice antihermitovská? To znamená, zda je konjugovaná transpozice rovna negativní matici.
Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).
IsUnitary (M)
Je matice unitární? To je, zda M'*M
a M*M'
dají stejnou jednotkovou matici.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) nebo Wikipedia.
JordanBlock (n,lambda)
Alternativní názvy: J
Získat Jordanův blok odpovídající vlastnímu číslu lambda
s násobností n
.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.
Kernel (T)
Získat jádro (nulový prostor) lineární transformace.
(Viz NullSpace)
KroneckerProduct (M, N)
Alternativní názvy: TensorProduct
Spočítat Kroneckerův součin (tenzorový součin ve standardní bázi) dvou matic.
Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině), Planetmath (text je v angličtině) a Mathworld (text je v angličtině).
Verze 1.0.18 a novější.
LUDecomposition (A, L, U)
Získat LU rozklad matice A
tak, že se najde dolní a horní trojúhelníková matice, jejichž součinem je A
. Výsledek se uloží v L
a U
, což by měly být odkazy na proměnné. V případě úspěchu vrací true
. Například předpokládejme, že A je čtvercová matice, pak po spuštění:
genius>
LUDecomposition(A,&L,&U)
budete mít dolní matici uloženou v proměnné s názvem L
a horní matici v proměnné s názvem U
.
Jedná se o LU rozklad matice známý také jako Croutův a/nebo Choleského rozklad. (ISBN 0-201-11577-8 pp.99-103) Horní trojúhelníková matice zahrnuje diagonálu hodnot 1. Nejedná se o Doolittlovu metodu, která zahrnuje diagonálu jedniček do dolní matice.
Ne všechny matice mají LU rozklad, například [0,1;1,0]
jej nemá a tato funkce v takovém případě vrátí false
a nastaví L
a U
na null
.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.
Minor (M,i,j)
Získat subdeterminant (též minor) i
-j
matice.
Více informací najdete v encyklopedii Planetmath.
NonPivotColumns (M)
Vrátit sloupce matice, které nemají pivot.
Norm (v,p...)
Alternativní názvy: norm
Získat normu typu p (nebo typu 2, pokud není zadáno p) vektoru.
NullSpace (T)
Získat nulový prostor matice. Tj. jádro lineární transformace, která matici představuje. Výsledek se vrací v podobě matice, jejíž sloupcový prostor je nulovým prostorem z T
.
Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).
Nullity (M)
Alternativní názvy: nullity
Získat nulovost matice. Tzn. vrátit rozměry nulového prostoru; rozměry jádra matice M
.
Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).
OrthogonalComplement (M)
Získat ortogonální doplněk sloupcového prostoru.
PivotColumns (M)
Vrátit sloupce matice s pivoty, tzn. sloupce, které mají 1 v řádkově redukované podobě. Rovněž vrací řádek, ve kterém se vyskytly.
Projection (v,W,B...)
Projekce vektoru v
do podprostoru W
vzhledem k unitárnímu prostoru danému B
. Pokud B
není zadáno, je použit standardní hermitovský součin. B
může být buď polybilineární funkce dvou argumentů nebo to může být matice v polybilineární formě.
QRDecomposition (A, Q)
Získat QR rozklad čtvercové matice A
, vrací horní trojúhelníkovou matici R
a nastavuje Q
na ortogonální (unitární) matici. Q
by měl být odkaz na proměnnou nebo null
, pokud nic vrátit nechcete. Například pro
genius>
R = QRDecomposition(A,&Q)
budete mít horní trojúhelníkovou matici uloženou v proměnné s názvem R
a ortogonální (unitární) matici v Q
.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině), Mathworld (text je v angličtině) a Wikipedia.
RayleighQuotient (A,x)
Vrátit Rayleighův podíl (nazývaný také Rayleighův-Ritzův koeficient nebo podíl) matice a vektoru.
Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).
RayleighQuotientIteration (A,x,epsilon,maxiter,vecref)
Najít vlastní čísla matice A
pomocí iterační metody Rayleighova podílu. x
je odhadovaný vlastní vektor a mohl by být náhodný. Měl by mít nenulovou imaginární část, pokud existuje nějaká možnost, že budou nalezena komplexní vlastní čísla. Kód bude nanejvýše v maxiter
iteracích a vracet null
, pokud není možné získat výsledek v rámci chyby epsilon
. vecref
by měl být buď null
nebo odkaz na proměnnou, do které by se měl uložit vlastní vektor.
Více informací o Rayleighově podíle najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).
Rank (M)
Alternativní názvy: rank
Získat hodnost matice.
Více informací najdete v encyklopedii Planetmath (text je v angličtině).
RosserMatrix ()
Vrátit Rosserovu matici, která je klasickým symetrickým problémem testu vlastního čísla.
Rotation2D (úhel)
Alternativní názvy: RotationMatrix
Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R2.
Rotation3DX (úhel)
Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R3 kolem osy x.
Rotation3DY (úhel)
Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R3 kolem osy y.
Rotation3DZ (úhel)
Vrátit matici odpovídající otočení okolo počátku v R3 kolem osy z.
RowSpace (M)
Získat bázi matice pro prostor řádků matice.
SesquilinearForm (v,A,w)
Vyhodnotit (v,w) vzhledem k polybilineární formě dané maticí A
.
SesquilinearFormFunction (A)
Vrátit funkci vyhodnocující dva vektory vzhledem k polybilineární formě dané maticí A
.
SmithNormalFormField (A)
Vrátit Smithův kanonický tvar (normální forma) matice nad poli (bude končit s jedničkami na diagonále).
Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (článek je v angličtině).
SmithNormalFormInteger (M)
Vrátit Smithův kanonický tvar (normální formu) pro čtvercové celočíselné matice nad celými čísly.
Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia (článek je v angličtině).
SolveLinearSystem (M,V,argumenty...)
Vyřešit lineární systém Mx=V, vrátit řešení V, pokud existuje jedinečné řešení, jinak vrátit null
. Je možné použít dva dodatečné parametry předávané odkazem, ve kterých získáte redukované M a V.
ToeplitzMatrix (s, r...)
Vrátit Teplitzovu matici sestavenou podle zadaného prvního sloupce c
a (volitelně) prvního řádku r
. Pokud je zadán pouze sloupec c
, je pro první řádek použita konjugovaná a nekonjugovaná verze, aby se získala hermitovská matice (samozřejmě za předpokladu, že je první prvek reálný).
Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).
Trace (M)
Alternativní názvy: trace
Spočítat stopu matice. Jedná se o součet prvků na hlavní diagonále čtvercové matice.
Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia a Planetmath (text je v angličtině).
Transpose (M)
Transponovat matici. Funkčně je to stejné, jako operátor .'
.
Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia a Planetmath (text je v angličtině).
VandermondeMatrix (v)
Alternativní názvy: vander
Vrátit Vandermondovu matici.
Více informací najdete v encyklopedii Wikipedia.
VectorAngle (v,w,B...)
Úhel dvou vektorů vzhledem k unitárnímu prostoru daného B
. Pokud B
není zadáno, je použit standardní hermitovský součin. B
může být buď polybilineární funkce dvou argumentů nebo to může být matice v polybilineární formě.
VectorSpaceDirectSum (M,N)
Přímý součet vektorových prostorů M a N.
VectorSubspaceIntersection (M,N)
Průnik podprostorů daných pomocí M a N
VectorSubspaceSum (M,N)
Součet vektorových prostorů M a N, tj. {w | w=m+n, m in M, n in N}.
adj (m)
Alternativní názvy: Adjugate
Získat adjungovanou (reciproku) matici.
cref (M)
Alternativní názvy: CREF
ColumnReducedEchelonForm
Spočítat sloupcově odstupňovaný tvar matice.
det (M)
Alternativní názvy: Determinant
Získat determinant matice.
Více informací najdete v encyklopediích Planetmath (text je v angličtině) a Wikipedia.
ref (M)
Alternativní názvy: REF
RowEchelonForm
Získat řádkově odstupňovaný tvar matice. To jest, použít Gaussovu eliminaci, ale bez zpětného dosazování do M
. Nenulové řádky jsou poděleny, aby všechny pivoty byly 1.
Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).
rref (M)
Alternativní názvy: RREF
ReducedRowEchelonForm
Získat redukovaný řádkově odstupňovaný tvar matice. To jest, použít Gaussovu eliminaci se zpětným dosazováním do M
.
Více informací najdete v encyklopediích Wikipedia (text je v angličtině) a Planetmath (text je v angličtině).